Sistema numerico decimale
Il nostro sistema numerico è posizionale, il valore delle cifre è cioè dato dalla loro posizione, ed è decimale, ossia è basato sulla base dieci.
Sono proprio le dieci dita delle mani ad aver imposto all’uomo l’idea dei raggruppamenti per insiemi di dieci ed è per questo che tale base occupa nelle numerazioni antiche e moderne un posto importante, anche se la numerazione a base dieci non è l’unica esistente. Se la natura ci avesse fornito sei dita per mano, la maggior parte delle numerazioni della storia sarebbe stata fondata sulla base sei o sulla base dodici. Nel nostro sistema numerico facciamo anche uso di dieci simboli, dette cifre: 0, 1, 2, 3, …, 9.
Va però osservato che in un sistema numerico non è necessario che la base corrisponda al numero di simboli utilizzati. Ad esempio, l’antico sistema numerico Maya, anch’esso posizionale, pur avendo una base mista (venti e cinque insieme) sfruttava solamente tre simboli: il fagiolo (di valore 1), il legnetto (di valore 5) e un simbolo per lo zero.
Approfondimenti
La scrittura polinomiale di un numero è una rappresentazione basata su un’addizione dei prodotti di ogni cifra del numero moltiplicata per un’opportuna potenza di 10, così da rappresentarne il valore. Questa rappresentazione mette dunque in risalto il valore di ogni cifra in base alla posizione che occupa.
Ad esempio, il numero 1'932 in forma polinomiale diventa:
Moltiplicando la cifra delle unità per 1, la cifra delle decine per 10, quella delle centinaia per 100, delle migliaia per 1'000, e addizionando tutti questi prodotti, avremo:
2 × 1 + 3 × 10 + 9 × 100 + 1 × 1'000
che corrisponde a:
2 × 100 + 3 × 101 + 9 × 102 + 1 × 103.
Facendo i calcoli è possibile verificare che tale scrittura corrisponde proprio al numero 1'932.
Anche un numero decimale (si veda il contenuto I numeri decimali) si può scrivere in forma polinomiale, procedendo in modo analogo al caso dei numeri naturali e utilizzando potenze di 10 con esponente negativo.
Ad esempio, il numero 24,36 in forma polinomiale diventa:
e può essere scritto anche come:
6 × 10-2 + 3 × 10-1 + 4 × 100 + 2 × 101.
Aspetti didattici
L’acquisizione del sistema numerico posizionale risulta complessa, in quanto occorre comprendere che ciò che attribuisce il valore alle cifre è la posizione che esse occupano nella scrittura del numero; ciò può essere favorito dalla proposta di attività didattiche legate ai raggruppamenti, basati prevalentemente su gruppi di dieci elementi, e dall’uso di artefatti che consentono di visualizzare la differenza tra singoli elementi (unità), raggruppamenti di dieci elementi (decine), raggruppamenti di cento elementi (centinaia) ecc.
Va considerato che all’ingresso della scuola elementare più della metà dei bambini intuisce che un numero formato da più cifre è più grande di un numero formato da meno cifre, indipendentemente dal saper leggere i numeri e il saper comprenderne la grandezza; alcuni bambini intuiscono anche che tra due numeri formati dallo stesso numero di cifre (ad esempio 13 e 31), quello più grande è quello che ha la cifra più grande a sinistra (“Bisogna guardare il primo numero e capire quale è più grande!”).
Partendo da queste premesse è possibile impostare le esperienze didattiche sul sistema posizionale decimale, legate prevalentemente al mondo reale, confrontandosi fin dall’inizio e senza paura anche con lo zero, sia come numero, sia come cifra, essendo uno dei dieci simboli con i quali possiamo scrivere e concepire tutti i numeri. Ovviamente non è facile comprendere che lo zero, al quale viene intuitivamente associato il significato di niente o assenza, ha in realtà un ruolo fondamentale nella scrittura del numero e dà come gli altri numeri informazioni sulla cardinalità di una raccolta.
Osserviamo inoltre che la scrittura polinomiale di un numero è unica, se si considerano come coefficienti delle potenze di 10 le nostre 10 cifre, ma ce ne sono moltissime altre se si esce da questo vincolo. È opportuno considerare con gli allievi anche altre scomposizioni possibili del numero, quantificando in modo diverso unità, decine, centinaia ecc.; questo per evitare che i bambini interiorizzino che il numero 561, ad esempio, contiene esattamente 6 decine, mentre occorre considerare che il 561 è formato da 56 decine.
Nel secondo ciclo è importante trasferire le competenze acquisite sul sistema posizionale ai numeri naturali sempre più grandi e ai numeri decimali, lavorando in analogia con quanto appreso nel ciclo precedente. In particolare, è importante riprendere le considerazioni proposte nel primo ciclo per far cogliere il ruolo del valore delle cifre legato alla loro posizione nella parte decimale di un numero. (Si veda il contenuto I numeri decimali).
Cenni storici
Il nostro sistema numerico posizionale a base dieci fu creato in India nel 500 e arrivò presso gli Arabi nell’800, per questo è detto sistema numerico indo-arabo.
Giunse in Europa solo nel 1202, grazie al famoso testo Liber Abaci scritto da Leonardo, figlio di Bonaccio il Pisano e per questo chiamato Fibonacci. In questo libro, Fibonacci parla delle nove “cifre” indiane (le figure delli Indi) e del “segno” zero (chiamato dagli Arabi zefiro), negando così allo zero, ancora una volta nella storia della matematica, la dignità di cifra, ma da allora usato sistematicamente come segno in Occidente.
È grazie allo zero che è stato possibile passare dai sistemi numerici additivi, poco flessibili e utilizzabili dal lato algoritmico, ai potenti sistemi posizionali; una conquista molto lunga e difficile nella storia della matematica.
Infatti, nei sistemi additivi una semplice operazione come 148 × 673 diventava un notevole problema; i Romani (si veda il contenuto Altri sistemi numerici), ad esempio, dovevano procedere a passi nel seguente modo:
CXLVIII × DCLXXIII =
VIII × III + VIII × LXX + VIII × DC + XL × III + XL × LXX + XL × DC + C × III + C × LXX + C × DC
Scrittura equivalente a:
148 × 673 =
8 × 3 + 8 × 70 + 8 × 600 + 40 × 3 + 40 × 70 + 40 × 600 + 100 × 3 + 100 × 70 + 100 × 600.
Si noti che anche oggi, nell’eseguire moltiplicazioni come questa, noi compiamo, senza magari rendercene conto, le stesse operazioni elementari in maniera rapida e per nulla difficoltosa, sfruttando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione; ma la relativa facilità odierna sta nel fatto che noi usiamo un sistema posizionale; dunque, tutti questi passaggi sono impliciti nell’algoritmo della moltiplicazione e non occorre esplicitarli uno per uno. A queste difficoltà si aggiungevano quelle legate alla notazione grafica dei numeri, che rendevano davvero complesso eseguire calcoli anche semplici.
Tornando alla storia dello zero, inizialmente questo numero veniva evitato o non considerato dalle diverse culture, probabilmente a causa di timori di tipo filosofico. Successivamente fu concepito semplicemente come spazio vuoto, ossia come assenza, costringendo così chi doveva leggere il valore dei numeri a interpretarli sulla base dei contesti, fino a quando venne riconosciuto come cifra al pari di tutte le altre.
Ammettere che zero sia un numero e che questo necessiti di una cifra specifica, è stata una vera e propria rivoluzione nell’ambito della matematica.
Va ricordato che i contributi di Fibonacci rimasero pressoché sconosciuti per più di due secoli e furono volgarizzati verso la fine del XV secolo ad opera del frate matematico toscano Luca Pacioli. Fu così che si diffusero metodi algoritmici estremamente rapidi ed efficaci per eseguire le operazioni elementari. Il Liber Abaci, l’opera matematica più significativa del Medioevo occidentale, contenente anche numerosi problemi, fu pubblicata a stampa solo nel 1857.
