Moltiplicazione

La moltiplicazione nell’insieme dei numeri naturali funziona così: prende due numeri naturali e dà in uscita la somma di un’addizione ripetuta di uno dei due numeri sommato a sé stesso tante volte quante ne esprime l’altro.

Se consideriamo per esempio 5 e 3, la moltiplicazione ci dà in uscita un’addizione ripetuta del primo numero sommato a sé stesso tante volte quante ne esprime il secondo numero (5 + 5 + 5), che equivale a dire che ci dà in uscita un’addizione ripetuta del secondo numero sommato a sé stesso tante volte, quante ne esprime il primo numero (3 + 3 + 3 + 3 + 3); questa interscambiabilità nel concepire i due termini della moltiplicazione avviene perché valgono diverse proprietà dell’addizione, che ricadono nella moltiplicazione.

I termini della moltiplicazione vengono chiamati genericamente fattori, mentre il risultato viene detto prodotto. Va osservato che a volte il primo termine della moltiplicazione è detto moltiplicando e il secondo moltiplicatore, ma questo potrebbe generare negli allievi la concezione erronea che vi sia un ordine preferenziale per i fattori di una moltiplicazione; cosa che non è, data la proprietà commutativa. Suggeriamo dunque di chiamarli indistintamente fattori, come per l’addizione i termini si chiamano indistintamente addendi.

La moltiplicazione in è quindi un modo più rapido di concepire e rappresentare l’addizione di numeri uguali; tale operazione è interna all’insieme dei numeri naturali, ossia è possibile effettuare tutte le moltiplicazioni.

La moltiplicazione si può scrivere in due modi: con una crocetta ruotata, 5 × 3 (si legge: “5 per 3”), oppure con un puntino sospeso a mezz’aria, 5 · 3 (si legge sempre nello stesso modo). Nella scuola elementare risulta più semplice da gestire il primo simbolo.

La moltiplicazione gode di alcune proprietà:

  • commutativa, ovvero cambiando l’ordine dei fattori il risultato non cambia: a × b = b × a, ad esempio 4 × 3 = 3 × 4, il risultato è sempre 12;
  • associativa, ovvero quando si moltiplicano tre o più fattori, il risultato è lo stesso indipendentemente dall’ordine in cui vengono effettuate le moltiplicazioni: (a × b) × c = a × (b × c), ad esempio (3 × 5) × 2 = 3 × (5 × 2), il risultato è sempre 30;
  • distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, questa proprietà non riguarda solo un’operazione alla volta, ma le operazioni a due a due, in questo caso la moltiplicazione e l’addizione. È possibile distribuire la moltiplicazione ai vari addendi di un’addizione, ad esempio:
    4 × (2 + 3) = (4 × 2) + (4 × 3), fa sempre 20. Nel membro sinistro dell’espressione precedente, 4 moltiplica la somma di 2 e 3; nel membro destro, 4 moltiplica il 2 e il 3 separatamente e i risultati sono successivamente sommati tra loro. Non vale invece la proprietà distributiva dell’addizione rispetto alla moltiplicazione, cioè 4 + (2 × 3) non dà lo stesso risultato di (4 + 2) × (4 + 3);
  • 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, ovvero moltiplicando 1 ad un numero il prodotto è il numero stesso: a × 1 = 1 × a = a, ad esempio 5 × 1 = 1 × 5, fa sempre 5.
  • 0 è l’elemento assorbente della moltiplicazione, ovvero se almeno uno dei due numeri che appare nella moltiplicazione è 0, allora il risultato è certamente 0, ad esempio a × 0 = 0 × a = 0 × 0 = 0, ad esempio 5 × 0 = 0, 0 × 5 = 0, 0 × 0 = 0; inoltre se il risultato di una moltiplicazione è zero, allora è certo che almeno uno dei due numeri moltiplicati è 0.

Si vede una certa analogia tra le proprietà dell’addizione e le proprietà della moltiplicazione, essendo quest’ultima un’addizione ripetuta.

Nell’insieme dei numeri razionali ℚ la moltiplicazione assume nuovi significati e applicazioni; ad esempio, non è trasferibile il significato intuitivo appreso in di ripetere un numero per tot volte, perché perderebbe di senso. Che senso avrebbe in effetti ripetere un numero ad esempio per 0,2 volte? Va anche considerato che in ℚ esiste l’inverso di qualsiasi numero n (ad eccezione dello zero) rispetto alla moltiplicazione, che è 1/n, quindi l’inverso di 3 è 1/3 dato che 3 × 1/3 = 1.

Aspetti didattici

La moltiplicazione, concepita come addizione ripetuta, può essere intuita da alcuni allievi fin dall’ingresso della scuola elementare e poi approfondita negli anni successivi.

Va considerato che anche per questa operazione vi sono diverse interpretazioni, più o meno intuitive, che variano a seconda della situazione. Ad esempio, i seguenti tre esempi mostrano significati intuitivi diversi della stessa moltiplicazione 4 × 5.

  1. Ci sono 4 file, ciascuna delle quali contiene 5 macchinine. Quante macchinine ci sono in tutto?

Questa situazione si può scrivere così: 4 × 5 = 20, che vuol dire 4 file da 5 macchinine l’una. Ma nulla vieta di pensare a: 5 × 4 = 20, interpretando 5 macchinine per ciascuna delle 4 file. C’è chi sostiene che una delle due formulazioni sia più intuitiva dell’altra, ma a nostro avviso sono entrambe intuitive e lecite.

  1. Anna ha 4 gonne e 5 magliette e vuol vestirsi ogni giorno in modo diverso, combinando sempre gonne con magliette diverse. Per quanti giorni le riesce questo giochetto di accostamenti diversi?

Per ognuna delle 4 gonne, può vestirsi 5 giorni in modo diverso, indossando una maglietta diversa; dunque, anche in questo caso, la situazione si può rappresentare con la scrittura: 5 × 4 = 20, ma il significato intuitivo è assai diverso da quello precedente.

  1. In un grande parco divertimenti, ogni giro di percorso con le macchinine costa 4 franchi. Se Francesco fa 5 giri, quanti franchi spende?

Ancora una volta questa situazione si può rappresentare così: 5 × 4 = 20.

La moltiplicazione nell’insieme dei numeri naturali è molto legata all’idea di accrescimento, dato che il prodotto in ℕ è sempre più grande dei fattori, a parte il caso in cui siano coinvolti numeri assai speciali come 0 e 1.

Questa idea intuitiva viene rafforzata dall’esperienza quotidiana, dall’uso del termine moltiplicazione nel senso comune e dalle raffigurazioni schematiche (cosiddette per schieramento) mostrate in classe. Ma ciò può generare nella mente dell’allievo quel modello “parassita” che si può enunciare così: “la moltiplicazione accresce sempre” e che avrà conseguenze didattiche negative negli anni seguenti.

Il tentativo di continuare ad applicare tale modello quando la moltiplicazione viene eseguita nell’insieme ℚ dei numeri razionali si rivela fallimentare, quando si dovrà effettuare 4 × 0,5, che non dà come risultato 8, come molti allievi credono, bensì 2 (un numero minore di uno dei due fattori). Risulta allora utile didatticamente lasciare immagini in continua evoluzione cercando di non creare troppo presto modelli forti e stabili del concetto, mettendo in guardia l’allievo che pur essendo un’addizione ripetuta nei naturali, non è detto che il risultato accresca sempre, ma può diventare anche più piccolo, come quando si moltiplica un numero per 0 o si è confrontati con numeri razionali. Si potrebbe mostrare proprio il caso della moltiplicazione di 4 × 0,5, ossia di 4 moltiplicato per la metà, che dopo qualche anno scopriranno essere 2, quindi più piccolo di 4.

L’operazione di “moltiplicazione” definita in assume quindi un altro significato rispetto a quella definita in ℕ.