Numeri primi

Anche per definire l’insieme dei numeri primi occorre prendere in considerazione la divisibilità nei numeri naturali: un numero si dice primo quando ha esattamente due divisori distinti. Per esempio, 7 è un numero primo, perché ha esattamente due divisori, cioè 1 e 7. Mentre 4 non è primo, in quanto ha tre divisori: 1, 2, 4.

Ripercorrendo la successione dei numeri naturali partendo dal primo, si nota che il numero 0 non è primo dato che ha infiniti divisori (tutti i numeri, tranne sé stesso). Il numero 1 non è primo, dato che ha solo un divisore: 1. Il numero 2 è primo, dato che ha esattamente due divisori, 1 e 2, ed è l’unico primo che è anche pari. Il numero 3 è primo, dato che ha esattamente due divisori: 1 e 3. I primi numeri primi, nell’ordine, sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ecc.

I numeri naturali maggiori di 1 che non sono primi si dicono composti.

È importante introdurre i numeri primi nel secondo ciclo della scuola elementare, allo scopo di preparare il terreno per il livello scolastico successivo, stando però attenti a come vengono definiti.

A volte si afferma che: “un numero naturale è primo se è divisibile per 1 e per sé stesso”, ma con questa definizione, 1 sarebbe primo, dato che ha come divisori solo 1 e sé stesso. Nel mondo greco ciò era evitato dal fatto che 1 non era considerato un numero (il numero è molteplicità), men che meno 0, dunque si doveva iniziare l’analisi da 2 (che è appunto il più piccolo numero primo). Nelle moderne definizioni, per evitare di porre 1 fra i numeri primi si ricorre o a limitazioni (un numero naturale n ≥ 2 è detto primo se…), oppure si è costretti a fornire definizioni del tutto diverse (un numero naturale è detto primo se ha esattamente due divisori distinti; in tal caso, 0 non è primo, dato che ha infiniti divisori, tutti i naturali tranne sé stesso; 1 non è primo, dato che ha un solo divisore, sé stesso). Una volta compreso che cosa si intende per numeri primi, è possibile proporre attività, pratiche e giochi che coinvolgono tali numeri e le loro particolari caratteristiche, come ad esempio la costruzione del crivello di Eratostene (si veda paragrafo seguente sui cenni storici).

I numeri primi hanno origine antichissima, secondo alcuni studiosi le tacche sulla superficie del cosiddetto osso Ishango, risalente a circa 20'000 a. C., sono collegate ai numeri primi.

I numeri primi sono stati molto studiati nell’antichità, specialmente dal grande Pitagora di Samo nel VI secolo a. C. che ne individuò importanti proprietà anche grazie all’aritmogeometria, ossia allo studio dei numeri attraverso la disposizione figurale degli elementi (a forma rettangolare, triangolare, quadrata ecc.), unendo così l’aritmetica con la geometria (si veda l’argomento Sottoinsiemi dei numeri naturali).

Successivamente, con una dimostrazione molto elegante, Euclide di Alessandria, nel III secolo a. C., mostrò che: «Dato un numero per quanto grande di numeri primi, se ne possono trovare degli altri»; ossia che: «I numeri primi sono infiniti».

Ma certamente i numeri primi sono associati a Eratostene che nel III a. C. propose il cosiddetto crivello, o setaccio, usato, appunto, per “setacciare” i numeri primi, estraendoli da insiemi finiti di numeri naturali. Riportiamo un esempio di applicazione del crivello di Eratostene per i numeri primi minori di 100.

0 non è primo, avendo infiniti divisori, così come 1 che ha un solo divisore, cioè sé stesso. 2 è il primo numero primo, avendo due divisori distinti: l’1 e il 2. Scriviamo quindi in una tabella ordinatamente i numeri naturali da 2 a 100, o se si vuole da 0 a 100, ma in questo caso i primi due numeri vanno cancellati perché non sono primi.

Prendiamo in considerazione il 2 che è il più piccolo numero primo. Ne consegue che tutti gli altri multipli di 2 saranno composti, ossia avranno certamente più di due divisori, come minimo l’1, il 2 e il numero che si sta considerando; pertanto, possiamo togliere dalla tabella, far passare al setaccio, tutti gli altri multipli di 2, non essendo sicuramente primi. Abbiamo così quanto resta dopo la prima “setacciatura”.

Ripetiamo il procedimento con il numero 3, che è il successivo primo, lasciando nella tabella il 3 stesso e cancellando tutti gli altri suoi multipli. Il procedimento deve essere ripetuto ora, eliminando tutti i multipli di 5 a parte 5 stesso, di 7, di 11 ecc. cioè dei successivi primi che restano.

I numeri naturali che rimangono sono tutti i numeri primi minori di 100:

2   3   5   7   11   13   17   19   23   29   31   37   41

43   47   53   59   61   67   71   73   79   83   89   97.

I numeri primi non furono trattati solo dal mondo greco; essi furono infatti studiati con grande profondità anche dagli arabi. Sono stati inoltre tanti i matematici illustri dal XVI secolo ad oggi (come Mersenne, Fermat, Goldbach, Euler, Gauss, Riemann, Hadamard, de La Vallée-Poussin), che si sono occupati di questi interessanti numeri, dando vita anche a congetture, alcune delle quali rimaste problemi aperti della matematica. Questo fa sì che i numeri primi continuino ad essere studiati anche oggi.

Da oltre due millenni i matematici si chiedono ad esempio quale sia la distribuzione dei numeri primi all’interno dell’insieme dei numeri naturali; di tanto in tanto qualche matematico, anche illustre, ha proposto regole per la determinazione dei primi, ma sempre fallendo. I numeri primi sono infiniti, lo aveva già dimostrato Euclide nel IV secolo a. C., ma come sono distribuiti questi numeri è ancora un problema aperto della matematica, uno dei problemi più famosi al mondo.