Sottoinsiemi dei numeri naturali

Un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme se esiste un criterio che permette di decidere univocamente se un qualunque oggetto faccia parte o meno del raggruppamento (ad esempio gli oggetti del raggruppamento sono elencati chiaramente oppure hanno tutti una proprietà comune che permette di individuarli). Gli oggetti che compongono un insieme si dicono elementi di questo insieme.

Il mondo è pieno di insiemi! Ad esempio, i bambini che frequentano la stessa scuola creano un insieme, e ciascuno di loro rappresenta un elemento dell’insieme.

Un insieme A è detto sottoinsieme di un altro insieme B quando tutti gli elementi di A appartengono anche a B.

Seguendo l’esempio, i compagni di una determinata classe della scuola creano un sottoinsieme dell’insieme costituito da tutti gli allievi della scuola. Se consideriamo l’insieme dei numeri naturali ℕ, costituito da infiniti elementi, si può individuare un numero infinito di suoi sottoinsiemi.

I sottoinsiemi possono essere finiti, ossia costituiti da un numero finito di elementi (ad esempio, l’insieme delle dieci cifre, i numeri compresi tra 5 e 20, estremi esclusi) o infiniti, ossia costituiti da infiniti elementi (ed esempio, l’insieme dei numeri pari, quello dei numeri dispari, dei numeri primi, dei numeri quadrati, dei multipli di 2, di 3, di 4 ecc.).

Durante l’apprendimento numerico nella scuola elementare risulta importante approcciarsi a diversi sottoinsiemi dei vari insiemi numerici, in particolare ai sottoinsiemi dei numeri naturali, costituiti da un numero finito e infinito di elementi. Ciò permette di individuare interessanti proprietà dei numeri, metterli in relazione tra loro, stabilire la cardinalità dei sottoinsiemi, analogie e differenze tra un sottoinsieme e l’altro ecc. Nel primo ciclo le attività vertono prevalentemente su insiemi costituiti da un numero finito di elementi, legati soprattutto a oggetti del mondo reale; nel secondo ciclo invece ci si può distanziare sempre di più dalla concretezza del reale, giocando prevalentemente con i numeri e addentrandosi a intuire e a manipolare insiemi costituiti da infiniti elementi, aumentando così in modo graduale l’astrazione dei concetti in gioco.

L’uomo si è sempre interessato al mondo numerico, inizialmente legato a esigenze concrete e utilitaristiche che coinvolgevano insiemi costituiti da un numero finito di elementi e in seguito in modo sempre più astratto e ampio, arrivando a concepire anche insiemi costituiti da infiniti elementi.

Il matematico forse più famoso, legato all’idea di numero come essenza di tutte le cose, è Pitagora di Samo (ca. 585-497 a. C., sempre che sia mai esistito, il che è messo in discussione), noto soprattutto per il teorema relativo ai triangoli rettangoli che porta il suo nome.

La posizione di Pitagora legata all’idea di numero veniva esaltata dalle rappresentazioni figurali dei numeri, che venivano realizzate mediante opportune configurazioni geometriche di monadi, entità più piccole possibili e indivisibili. Concretamente si può ipotizzare di disporre dei sassolini secondo determinate configurazioni geometriche e di indagarne gli aspetti numerici e le relative proprietà. Ancora oggi sono conosciuti i numeri poligonali: triangolari, quadrati, pentagonali; ma anche tetraedrici, piramidali ecc. Gli insiemi dei numeri poligonali sono costituiti da infiniti elementi.

Tali numeri nascondono interessanti proprietà che possono diventare oggetto di riflessioni didattiche. È ovvio che ogni numero naturale è rappresentabile mediante una o più configurazioni rettangolari di monadi, tranne i numeri primi che sono rappresentabili unicamente da un’unica fila di monadi, avendo solamente due divisori.

Riuscire a concepire e gestire insiemi costituiti da infiniti elementi è stata una lenta e faticosa conquista dell’essere umano, che ha attraversato millenni di storia. Da Aristotele, con il suo divieto di avere a che fare con l’infinito in senso attuale, per evitare paradossi, si è dovuti arrivare al 1870 circa con Cantor per riuscire a gestire con sicurezza le corrispondenze biunivoche tra insiemi infiniti, scoprendo così le cardinalità di questi insiemi (si veda il contenuto Corrispondenza biunivoca).