Sottrazione
La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione: presi due numeri, ne fornisce un altro, se esiste, che aggiunto al secondo dà come somma il primo. Detto in altro modo, il risultato di una sottrazione tra due numeri è quel che manca al secondo numero per essere uguale al primo. In questo modo la sottrazione, che si indica con il segno –, viene definita in termini di addizione, mostrando così come queste due operazioni siano collegate l’una all’altra. Proviamo con un esempio: 8 – 3 dà come risultato quel che manca al 3 per essere grande come 8, cioè 5. Dunque scriveremo: 8 – 3 = 5.
Il primo termine viene detto minuendo, il secondo sottraendo, e il risultato, se esiste, è detto differenza.
È possibile fare 3 – 8 nell’insieme dei numeri naturali? È chiaro che no: non si può “togliere” 8 da 3; sulla retta dei numeri naturali, non si può partire da 3 e andare indietro di 8. Dunque, nella sottrazione bisogna stare bene attenti; non sempre si può fare una qualsiasi sottrazione. Per riuscirci in ℕ, il primo termine deve essere maggiore o uguale al secondo, altrimenti occorre passare all’insieme dei numeri interi ℤ, che contempla anche i numeri negativi.
Occhio allo zero! Lo zero nella sottrazione non rappresenta l’elemento neutro, perché 5 – 0 = 5, ma 0 – 5 non si può fare nell’insieme dei numeri naturali; possiamo riuscire a fare solo 0 – 0.
Per la sottrazione non vale né la proprietà commutativa né quella associativa.
Per la sottrazione vale la seguente proprietà:
- invariantiva: se si aggiunge o si sottrae uno stesso termine sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non cambia. Ad esempio, se consideriamo 18 – 14, e sottraiamo 3 a entrambi i termini otteniamo 15 – 11, la differenza delle due sottrazioni è la stessa ed è uguale a 4.
Aspetti didattici
Nel primo ciclo la sottrazione è molto legata al concetto di togliere una quantità di oggetti da una raccolta, o come completamento, ossia come quel numero che manca per arrivare ad un altro numero. Quest’ultima interpretazione viene spesso usata anche nella vita reale. Si pensi al cassiere che in un negozio sovente fornisce il resto, aggiungendo al costo di ciò che si è comprato i franchi che occorrono per arrivare alla banconota fornita dall’acquirente.
Anche la sottrazione possiede dunque diversi “sensi intuitivi”:
- togliere da una raccolta;
- tornare indietro, indietreggiare;
- trovare quanto manca a…
È quindi importante anche in questo caso fornire agli allievi diversi esempi di problemi e situazioni che portano a interpretazioni diverse, pur risolvendosi tutte con la stessa sottrazione, ad esempio 8 – 3 = 5.
- Sergio ha 8 figurine, ma ne regala 3 al suo fratellino Paolo. Quante gliene restano?
- Nella retta dei numeri naturali siamo sull’8 e ci spostiamo a sinistra di tre posti. In quale numero ci troveremo?
- Andrea ha 3 figurine, ma per poter entrare nel “club dei collezionisti” servono 8 figurine. Quante gliene mancano?
Fin dai primi anni di scuola elementare è importante spiegare agli allievi che la sottrazione 3 – 5 non si può fare nell’insieme dei numeri naturali, ma verranno introdotti altri numeri che permetteranno di eseguire anche queste sottrazioni. Dire infatti agli allievi che operazioni del tipo 3 – 5 non si potranno mai, ma proprio mai, fare, non li aiuta ad avere quell’elasticità necessaria per ampliare l’insieme quando avranno le competenze per poterlo gestire, arrivando a dire che 3 – 5 = – 2.
Va anche ribadito che approcciarsi ai numeri negativi risulta abbastanza intuitivo per gli allievi di scuola elementare (li vedono nella loro vita extrascolastica quando hanno a che fare con la temperatura, l’ascensore ecc.) ed è dunque possibile mostrare in un secondo ciclo, ad esempio tramite saltelli sulla retta dei numeri, che è possibile eseguire tutte le sottrazioni coinvolgendo anche i numeri negativi.
Va inoltre mostrato agli allievi tramite esempi, che ciò che vale per l’addizione nell’insieme dei numeri naturali, non è detto che valga per la sottrazione: l’elemento neutro non esiste, le proprietà commutativa e associativa non valgono e questo comporta che nella sottrazione l’ordine degli elementi risulta fondamentale.
