Addizione

Nell’insieme dei numeri naturali, l’addizione è l’operazione che preso il numero di elementi di due insiemi disgiunti restituisce il numero degli elementi dell’unione dei due insiemi. L’addizione si indica con il segno +. I numeri degli elementi delle due raccolte vengono detti addendi, il numero dell’unione degli elementi dei due insiemi, ossia il risultato, è chiamato somma.

L’addizione è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali ℕ, dato che è possibile in esso eseguire tutte le addizioni e gode di alcune proprietà:

• commutativa, ovvero cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia: a + b = b + a, ad esempio 4 + 3 = 3 + 4, la somma è sempre 7;
• associativa, ovvero quando si sommano tre o più addendi, la somma è la stessa indipendentemente dall’ordine in cui vengono effettuate le addizioni: (a + b) + c = a + (b + c), ad esempio (3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2), la somma è sempre 10, dato che 8 + 2 = 3 + 7; ossia possiamo sommarli a due a due come vogliamo e il risultato non cambia;
• zero è l’elemento neutro dell’addizione, ovvero sommare 0 a un numero lascia quel numero invariato: a + 0 = 0 + a = a, ad esempio 5 + 0 = 0 + 5, fa sempre 5.

Se mettiamo insieme le proprietà associativa e commutativa, abbiamo un bel risultato: possiamo addizionare come vogliamo, mescolando i numeri tra di loro e senza usare alcuna parentesi.

L’addizione è un’operazione che può essere applicata anche negli altri insiemi numerici (ℤ, ℚ, ℝ).

L’addizione è l’operazione più intuitiva per gli allievi: essendo legata all’idea di mettere insieme gli elementi e all’azione del conteggio, iniziano ad approcciarla in modo naturale fin da molto piccoli.

L’addizione possiede diversi “sensi intuitivi”:

• unire gli oggetti di due insiemi diversi;
• avanzare, andare avanti, trascorrere;
• aggiungere qualcosa a qualcos’altro…

Nella scuola elementare la complessità di tale operazione può aumentare in base a diversi fattori: i tipi di numeri considerati (naturali o decimali), la loro grandezza, la loro difficoltà di scrittura, il numero di addendi, il tipo di calcolo coinvolto, il tipo di contesto a cui si riferisce il calcolo (come ad esempio un problema) ecc.

Nel risolvere problemi va considerato che vi sono diverse interpretazioni dell’addizione, anche se si indicano tutte nello stesso modo (+); queste vanno proposte dalla prima alla quinta elementare, facendo notare agli allievi che non è il tipo di operazione risolutiva che rende un problema facile o difficile, ma molto spesso è il testo stesso (contesto, linguaggio, dizionario, enciclopedia ecc.) a creare difficoltà, anche perché a volte il significato dell’operazione sotteso nel testo non è tra quelli più intuitivi.

Si possono mostrare esempi di problemi che si risolvono tutti con la stessa addizione, ad esempio 5 + 3, ma che risultano più o meno difficili da essere interpretati e risolti, essendo più o meno legati al significato intuitivo di addizione.

1. Intorno ad un tavolo ci sono 5 bambini e 3 bambine. Quanti sono in tutto?
2. Siamo sulla retta dei numeri naturali e ci troviamo sul 5, dopo aver fatto 3 passi a destra su quale numero ci troviamo?

3. Leonardo ha speso 3 franchi. Egli ha ora in tasca 5 franchi. Quanti franchi aveva prima?
4. Francesco ha giocato due partite. Nella prima ha perso 5 punti, ma alla fine della seconda partita si è trovato in vantaggio di 3 punti. Che cosa è successo nella seconda partita?

Tutti questi problemi si risolvono con la stessa operazione 5 + 3, ma hanno percentuali di successo incredibilmente diverse.

È importante rilevare che a volte, in buona fede, sono state fatte delle scelte con l’illusione di far acquisire il sapere agli allievi in modo più intuitivo e immediato, ma possono essere risultate forvianti rispetto all’oggetto matematico in gioco. Ne è un esempio il tema della scomposizione per quanto concerne l’addizione, argomento che è presente solo nelle aule scolastiche, ma che non rientra in modo specifico nella matematica, dato che anche quando si tratta questo tema in realtà si parla sempre di addizione. Dire infatti che 7 + 3 = 10 o che 10 = 7 + 3 è la stessa cosa; si tratta della stessa operazione, l’addizione, che può essere letta nei due sensi indipendentemente da come è scritta. Se vogliamo far percepire agli allievi il significato dell’uguale, nel senso di una relazione tra quantità, è importante far cogliere che stiamo facendo la stessa operazione quando da più addendi otteniamo una somma, o ad una somma associamo vari addendi che la possono generare. In tal senso, fornire agli allievi due distinti nomi: addizione e scomposizione, se l’uguale viene letto in un verso oppure nell’altro, invece dell’unico nome addizione, può portare alla convinzione che l’uguale non sia una relazione, ma solo una procedura; idea che ha erronee conseguenze nei livelli scolastici successivi quando si affronteranno espressioni o equazioni.

Ovviamente rimane un’attività importante chiedere agli allievi di individuare due o più addendi che sommati danno un determinato numero, come nel caso dello strategico 10; tali attività aiutano infatti l’apprendimento numerico e il calcolo mentale.

Un caso analogo di erronea trasposizione didattica è l’introduzione nelle aule scolastiche della proprietà dissociativa, proprietà che in matematica non esiste, dato che si tratta sempre della proprietà associativa (a + b) + c = a + (b + c), a cui vengono dati erroneamente due nomi diversi a seconda che la lettura venga fatta da una parte o dall’altra dell’uguale. Tale scelta risulta ancora una volta impropria, andando contro al concetto stesso di proprietà associativa e più in generale di uguale considerato in senso relazionale.