Divisione

La divisione, che si indica di solito con due punti uno sopra l’altro, è l’operazione inversa della moltiplicazione: un numero è divisibile per un altro (purché diverso da zero), se esiste un terzo numero che moltiplicato per il secondo dà il primo. In pratica, a : b  è uguale a c (con b diverso da 0), se c × b = a. Ad esempio, 6 : 3 = 2, dato che 2 × 3 = 6.

Nell’espressione sopra, a è detto dividendo (cioè la quantità da dividere), b è detto divisore (cioè la quantità che divide) e c è detto quoto. In certi contesti, per indicare una divisione si usa al posto dei due puntini un trattino disposto così / o così _ (che si legge “su” o “fratto”). Il trattino viene solitamente usato in una frazione.

Va osservato che se a : b = c, allora a : c = b, sempre che b e c siano entrambi diversi da zero; ad esempio, se 6 : 3 = 2, allora 6 : 2 = 3.

Occorre sempre ricordare che la divisione per zero non viene definita, per questo l’abbiamo sempre escluso tra i divisori.

Per capire con più profondità come si comporta lo 0 nella divisione, effettuiamo una prova: mettiamo 0 al primo posto. Quanto fa 0 : 4? Bisogna dunque trovare un numero che, moltiplicato per 4, dia 0, e questo numero è 0; infatti 0 × 4 = 0. Dunque 0 : 4 = 0.

Mettiamo 0 al secondo posto. Quanto fa 4 : 0? Bisogna trovare un numero che, moltiplicato per 0, dia 4. Ma un tal numero non esiste; sappiamo infatti che qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà 0 e dunque non potrà mai dare 4. Quindi, banalmente, 4 : 0 non si può fare. È un errore sintattico: si dice che il calcolo è impossibile. In particolare, dunque, 0 : 0 non si può scrivere, dato che 0 apparirebbe al secondo posto. Andando più in profondità si vede che i numeri che moltiplicati per 0 darebbero 0 sarebbero infiniti (0, 1, 2, 3, …), quindi in questo caso il calcolo risulterebbe indeterminato.

Ma a parte lo 0, non è detto che l’operazione di divisione si possa sempre fare: a volte sì, a volte no, come nel caso di 8 : 3, per la quale non esiste nessun numero naturale che moltiplicato per 3 dia come risultato 8. In questo caso nell’insieme dei numeri naturali occorre far ricorso alla divisione detta euclidea, in onore di Euclide: dati due numeri naturali a e b, con b diverso da 0, esistono due numeri q e r, detti quoziente e resto, tali che

a = b × q + r  e  0 ≤ r < | b |

(si dimostra che tale coppia di numeri naturali esiste ed è unica).

Al di là di questa stravagante divisione che contempla il resto, possiamo affermare che la divisione non è un’operazione interna a ℕ, dato che non è sempre possibile eseguire le divisioni senza considerare il resto. Per riuscire a risolvere tutte le divisioni occorre ampliare l’insieme dei numeri naturali e considerare i razionali ℚ. Ora sì che finalmente si potranno eseguire tutte le divisioni!

La divisione non gode dell’elemento neutro, né delle proprietà commutativa e associativa.

Per la divisione vale la proprietà invariantiva, ovvero il quoziente non cambia se dividendo e divisore sono moltiplicati o divisi per una stessa quantità diversa da zero (il resto invece risulta moltiplicato per quella quantità); ad esempio, data la divisione 10 : 2, se si moltiplicano sia il dividendo sia il divisore per 3 si ottiene 30 : 6, il risultato di entrambe le divisioni è 5.

L’idea intuitiva di dividere legata alla partizione o suddivisione di oggetti è concepita già dai bambini di scuola dell’infanzia, essendo legata al vissuto reale. In alcuni casi tale divisione viene confusa con la condivisione (“Dare un po’ di gelato a Federico, che è mio amico!”), senza considerare particolari criteri, come ad esempio la stessa numerosità.

Pur essendo inizialmente abbastanza intuitiva e legata al vissuto, dal punto di vista formale, però, la divisione risulta essere l’operazione più complicata, sia per i suoi molteplici significati, a volte confusi con la moltiplicazione, sia per il suo algoritmo scritto, assai complesso e poco intuitivo. Consideriamo anche in questo caso diversi esempi che contemplano differenti significati della divisione 24 : 6.

1. Carlo deve riporre i suoi 24 libri di fumetti in 6 scatole in modo tale che in ogni scatola ci sia lo stesso numero di libri. Quanti libri metterà in ogni scatola?
2. Luca vuole dividere i suoi 24 berretti sportivi a 6 a 6 in scatole tutte uguali. Quante scatole gli servono?
3. Michele compra 6 litri di succo di frutta e paga 24 franchi. Quanti franchi costa 1 litro di succo?

Ognuno di questi esempi mostra un significato diverso della stessa parola “divisione”, anche se esprimibile con un’unica scrittura formale; significati che vanno gradualmente accettati e compresi da parte degli allievi.

Un errore tipico nella risoluzione di problemi che coinvolgono questa operazione è di invertire il ruolo del dividendo con quello del divisore; ciò porta però a una risoluzione sbagliata del problema, dato che la divisione non gode della proprietà commutativa.

Inoltre, così come avviene per la moltiplicazione, per la quale si ipotizza che debba sempre accrescere la grandezza dei fattori, anche per la divisione si genera nella mente degli allievi una convinzione per così dire “simmetrica”, legata all’idea che “diminuisce sempre”, ossia ci si immagina il risultato più piccolo del dividendo. Tale misconcezione produce erronee conseguenze in vari contesti: dovendo scegliere quale tra le due operazioni 4 × 0,5 e 4 : 0,5 dia come risultato 2, diversi allievi propendono per la divisione, convinti appunto che la divisione faccia trovare un risultato più piccolo del dividendo.

Va inoltre ricordato che, se non si lavora in modo consapevole, si può correre il rischio di dare allo studente un altro modello intuitivo che finirà con il produrre una misconcezione: in una divisione a : b, il numero a deve sempre essere maggiore del numero b (si deve sempre dividere un numero grande per uno piccolo).

Lo stesso modo in cui la divisione è proposta fin dalle prime volte a scuola spinge a credere in ciò: si tratta sempre di ripartire molti oggetti tra poche scatole o di contenitori che raccolgono diversi oggetti ciascuno. Ma ciò comporta allora che, di fronte ad una proposta del tipo: «15 amici si dividono 5 chilogrammi di biscotti. Quanti ne spettano a ciascuno?», l’allievo è spinto a eseguire 15 : 5, invece di 5 : 15, calcolando così quanti amici spettano a ciascun chilo di biscotti! Eppure fin dalla scuola dell’infanzia si è abituati a dividere una mela tra due bambini, facendo 1 : 2, ottenendo così due metà di un’unica mela, o una tavoletta di cioccolata tra quattro bambini, ma poi tali situazioni non vengono riprese durante i primi anni di scuola elementare, quando viene introdotta intuitivamente la divisione. Sarebbe invece importante far ragionare costantemente gli allievi sulle divisioni legate al contesto reale, dove il dividendo è minore del divisore, senza fissare invece per anni la convinzione che ciò non possa avvenire.

Anche in questo caso, rendere gli allievi consapevoli di questi aspetti nel corso del secondo ciclo, riflettendo con loro in modo critico e mettendoli in guardia su ciò che si verificherà quando si amplierà l’insieme numerico, consente di limitare l’insorgere di eventuali erronee convinzioni.