Moltiplicazione

La moltiplicazione nell’insieme dei numeri naturali funziona così: prende due numeri naturali e dà in uscita la somma di un’addizione ripetuta di uno dei due numeri sommato a sé stesso tante volte quante ne esprime l’altro.

Se consideriamo per esempio 5 e 3, la moltiplicazione ci dà in uscita un’addizione ripetuta del primo numero sommato a sé stesso tante volte quante ne esprime il secondo numero (5 + 5 + 5), che equivale a dire che ci dà in uscita un’addizione ripetuta del secondo numero sommato a sé stesso tante volte, quante ne esprime il primo numero (3 + 3 + 3 + 3 + 3); questa interscambiabilità nel concepire i due termini della moltiplicazione avviene perché valgono diverse proprietà dell’addizione, che ricadono nella moltiplicazione.

I termini della moltiplicazione vengono chiamati genericamente fattori, mentre il risultato viene detto prodotto. Va osservato che a volte il primo termine della moltiplicazione è detto moltiplicando e il secondo moltiplicatore, ma questo potrebbe generare negli allievi la concezione erronea che vi sia un ordine preferenziale per i fattori di una moltiplicazione; cosa che non è, data la proprietà commutativa. Suggeriamo dunque di chiamarli indistintamente fattori, come per l’addizione i termini si chiamano indistintamente addendi.

La moltiplicazione in ℕ è quindi un modo più rapido di concepire e rappresentare l’addizione di numeri uguali; tale operazione è interna all’insieme dei numeri naturali, ossia è possibile effettuare tutte le moltiplicazioni.

La moltiplicazione si può scrivere in due modi: con una crocetta ruotata, 5 × 3 (si legge: “5 per 3”), oppure con un puntino sospeso a mezz’aria, 5 · 3 (si legge sempre nello stesso modo). Nella scuola elementare risulta più semplice da gestire il primo simbolo.

La moltiplicazione gode di alcune proprietà:

• commutativa, ovvero cambiando l’ordine dei fattori il risultato non cambia: a × b = b × a, ad esempio 4 × 3 = 3 × 4, il risultato è sempre 12;
• associativa, ovvero quando si moltiplicano tre o più fattori, il risultato è lo stesso indipendentemente dall’ordine in cui vengono effettuate le moltiplicazioni: (a × b) × c = a × (b × c), ad esempio (3 × 5) × 2 = 3 × (5 × 2), il risultato è sempre 30;
• distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, questa proprietà non riguarda solo un’operazione alla volta, ma le operazioni a due a due, in questo caso la moltiplicazione e l’addizione. È possibile distribuire la moltiplicazione ai vari addendi di un’addizione, ad esempio:
  4 × (2 + 3) = (4 × 2) + (4 × 3), fa sempre 20. Nel membro sinistro dell’espressione precedente, 4 moltiplica la somma di 2 e 3; nel membro destro, 4 moltiplica il 2 e il 3 separatamente e i risultati sono successivamente sommati tra loro. Non vale invece la proprietà distributiva dell’addizione rispetto alla moltiplicazione, cioè 4 + (2 × 3) non dà lo stesso risultato di (4 + 2) × (4 + 3);
• 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, ovvero moltiplicando 1 ad un numero il prodotto è il numero stesso: a × 1 = 1 × a = a, ad esempio 5 × 1 = 1 × 5, fa sempre 5.
• 0 è l’elemento assorbente della moltiplicazione, ovvero se almeno uno dei due numeri che appare nella moltiplicazione è 0, allora il risultato è certamente 0, ad esempio a × 0 = 0 × a = 0 × 0 = 0, ad esempio 5 × 0 = 0, 0 × 5 = 0, 0 × 0 = 0; inoltre se il risultato di una moltiplicazione è zero, allora è certo che almeno uno dei due numeri moltiplicati è 0.

Si vede una certa analogia tra le proprietà dell’addizione e le proprietà della moltiplicazione, essendo quest’ultima un’addizione ripetuta.

Nell’insieme dei numeri razionali ℚ la moltiplicazione assume nuovi significati e applicazioni; ad esempio, non è trasferibile il significato intuitivo appreso in ℕ di ripetere un numero per tot volte, perché perderebbe di senso. Che senso avrebbe in effetti ripetere un numero ad esempio per 0,2 volte? Va anche considerato che in ℚ esiste l’inverso di qualsiasi numero n (ad eccezione dello zero) rispetto alla moltiplicazione, che è 1/n, quindi l’inverso di 3 è 1/3 dato che 3 × 1/3 = 1.

La moltiplicazione, concepita come addizione ripetuta, può essere intuita da alcuni allievi fin dall’ingresso della scuola elementare e poi approfondita negli anni successivi.

Va considerato che anche per questa operazione vi sono diverse interpretazioni, più o meno intuitive, che variano a seconda della situazione. Ad esempio, i seguenti tre esempi mostrano significati intuitivi diversi della stessa moltiplicazione 4 × 5.

1. Ci sono 4 file, ciascuna delle quali contiene 5 macchinine. Quante macchinine ci sono in tutto?

Questa situazione si può scrivere così: 4 × 5 = 20, che vuol dire 4 file da 5 macchinine l’una. Ma nulla vieta di pensare a: 5 × 4 = 20, interpretando 5 macchinine per ciascuna delle 4 file. C’è chi sostiene che una delle due formulazioni sia più intuitiva dell’altra, ma a nostro avviso sono entrambe intuitive e lecite.

2. Anna ha 4 gonne e 5 magliette e vuol vestirsi ogni giorno in modo diverso, combinando sempre gonne con magliette diverse. Per quanti giorni le riesce questo giochetto di accostamenti diversi?

Per ognuna delle 4 gonne, può vestirsi 5 giorni in modo diverso, indossando una maglietta diversa; dunque, anche in questo caso, la situazione si può rappresentare con la scrittura: 5 × 4 = 20, ma il significato intuitivo è assai diverso da quello precedente.

3. In un grande parco divertimenti, ogni giro di percorso con le macchinine costa 4 franchi. Se Francesco fa 5 giri, quanti franchi spende?

Ancora una volta questa situazione si può rappresentare così: 5 × 4 = 20.

La moltiplicazione nell’insieme dei numeri naturali è molto legata all’idea di accrescimento, dato che il prodotto in ℕ è sempre più grande dei fattori, a parte il caso in cui siano coinvolti numeri assai speciali come 0 e 1.

Questa idea intuitiva viene rafforzata dall’esperienza quotidiana, dall’uso del termine moltiplicazione nel senso comune e dalle raffigurazioni schematiche (cosiddette per schieramento) mostrate in classe. Ma ciò può generare nella mente dell’allievo quel modello “parassita” che si può enunciare così: “la moltiplicazione accresce sempre” e che avrà conseguenze didattiche negative negli anni seguenti.

Il tentativo di continuare ad applicare tale modello quando la moltiplicazione viene eseguita nell’insieme ℚ dei numeri razionali si rivela fallimentare, quando si dovrà effettuare 4 × 0,5, che non dà come risultato 8, come molti allievi credono, bensì 2 (un numero minore di uno dei due fattori). Risulta allora utile didatticamente lasciare immagini in continua evoluzione cercando di non creare troppo presto modelli forti e stabili del concetto, mettendo in guardia l’allievo che pur essendo un’addizione ripetuta nei naturali, non è detto che il risultato accresca sempre, ma può diventare anche più piccolo, come quando si moltiplica un numero per 0 o si è confrontati con numeri razionali. Si potrebbe mostrare proprio il caso della moltiplicazione di 4 × 0,5, ossia di 4 moltiplicato per la metà, che dopo qualche anno scopriranno essere 2, quindi più piccolo di 4.

L’operazione di “moltiplicazione” definita in ℚ assume quindi un altro significato rispetto a quella definita in ℕ.