Ordinamento

I numeri che si ottengono a partire da 0 aggiungendo sempre un’unità, si chiamano numeri naturali {0, 1, 2, 3, 4, …}; l’insieme dei numeri naturali è solitamente indicato con ℕ. Il più piccolo numero naturale è dunque 0. Nessuno sa il perché di questo nome: “naturale”; si può ipotizzare che ciò dipenda dal fatto che sono i più semplici, quelli che vengono più spontanei, che sono i più… naturali, appunto! (Forse il nome deriva dal voler tenere la contabilità degli oggetti che è una delle prime attività dell’essere umano).

I numeri naturali sono totalmente ordinati secondo una relazione d’ordine “minore” (<) o “minore o uguale” (≤), dato che ogni numero si ottiene dal precedente aggiungendo 1. Il numero naturale n + 1, costruito a partire da n, si chiama successivo di n, mentre il numero naturale n – 1 si chiama precedente di n, ma ovviamente solo nel caso in cui n è maggiore di 0. L’ordinamento dei numeri naturali ha la seguente caratteristica: ogni numero possiede un successivo. 4 è il successivo di 3, 5 è il successivo di 4 ecc. Tra due numeri successivi, inoltre, in mezzo non c’è nulla. Questo significa che l’insieme ℕ è discreto.

Per i numeri naturali è sempre possibile effettuare il confronto tra due qualsiasi numeri n e m e si verifica uno solo dei seguenti tre casi (legge di tricotomia):

n > m,

n < m,

n = m .

Nella scuola elementare i bambini imparano l’ordinamento dei numeri naturali disponendoli dal più piccolo al più grande.

Uno strumento didattico assai vincente per concepire i numeri naturali in ordine crescente, ma da non considerare come univoco, è la linea dei numeri. Questo notevole strumento va costruito passo passo con i bambini. I modi per realizzare la linea dei numeri, che spesso diventa una retta, possono essere vari: tramite un lungo foglio di carta; con filo, mollette e numeri di cartone; con pedine da sistemare sul pavimento; “vivente”, ogni bambino rappresenta un numero ecc. Se la linea dei numeri viene costruita tramite un foglio di carta è possibile appenderla alle pareti dell’aula in modo che possa accompagnare l’apprendimento numerico degli allievi per un lungo periodo. La linea va costruita in modo che non dia ai bambini l’idea che inizi da una parte e finisca in un’altra. Si segnano sulla striscia di carta tanti punti alla stessa distanza e si attaccano qua e là alcuni numeri in base alle esperienze che vengono vissute in classe così da arricchirla sempre più. Lo “0”, non deve essere posto all’inizio della striscia di carta, per dar modo ai bambini di poter pensare (in futuro, quando ciò avverrà spontaneamente) che ci sono “altri” numeri al di qua di quello “0” e così anche tra un numero naturale e il successivo si potrebbe lasciare dello spazio per inserire nel secondo ciclo nuovi numeri, i razionali. Si potrebbero eventualmente disegnare i puntini a destra e a sinistra della linea per fare capire che i numeri continuano in entrambi i versi. È infatti importante preparare il terreno con gli allievi a ciò che avverrà in seguito dal punto di vista matematico, senza fornire delle nozioni agli allievi che in seguito saranno smentite; ciò allo scopo di non creare modelli rigidi negli allievi, che difficilmente in futuro si riusciranno a modificare. Esempi in tal senso sono le seguenti affermazioni che spesso vengono ribadite come vere per anni: “0 è il più piccolo numero che esiste”; “La linea dei numeri inizia da 0” (mostrando una semiretta invece di una retta); “Nella retta dei numeri a sinistra dello 0 non c’è niente”; “Tra 0 e 1 non c’è nessun numero, così come tra 1 e 2, 2 e 3 e così via”; “Se ti allontani dallo 0 il numero diventa sempre più grande” (ciò non vale quando si passerà ai numeri negativi dove più ci si allontana dallo 0 più il numero diventa piccolo) ecc. Vale invece la pena anticipare ai bambini ciò che impareranno negli anni successivi, dicendo che 0 non è il più piccolo numero esistente, che la linea dei numeri è illimitata in entrambi i versi, che tra 0 e 1 ci saranno tanti altri numeri (non naturali ma di altro tipo che impareranno a conoscere negli anni successivi), che a sinistra dello 0 ci saranno tanti altri numeri (i numeri negativi, osservando in analogia ciò che si visualizza nell’ascensore o nel termometro della temperatura) ecc. Sapere ciò che avverrà permette di non creare rigidità negli allievi, li rassicura e permette di preparare gli apprendimenti futuri.

La disposizione dei numeri non deve però essere sempre e solo quella per ordine crescente, dal più piccolo al più grande. Se si considera un insieme finito di numeri naturali è ad esempio possibile disporre gli elementi in modo decrescente o disporli secondo altre fantasiose logiche (ad esempio disporre tutte le cifre dalla più bella alla più brutta, oppure mettere prima tutti numeri pari e poi tutti i dispari): i criteri possono essere i più disparati.

Abituare gli allievi a concepire disposizioni diverse dei numeri può avvicinarli al concetto di successione e può aiutarli a comprendere corrispondenze biunivoche tra insiemi infiniti nei livelli scolastici successivi, anche quando gli elementi non seguono la disposizione classica per grandezza numerica.

Risale a John Wallis nel XVIII secolo l’idea di utilizzare una retta per rappresentare l’ordine cosiddetto naturale dell’insieme ℤ dei numeri interi: in essa appare il valore 0 contrassegnato da un punto; a destra i numeri positivi +1, +2, +3 ecc., che si allontanano sempre più da 0, a sinistra, nell’ordine, i numeri negativi -1, -2, -3 ecc., che si allontanano in senso opposto. Tuttavia, nonostante avesse creato questo modello così esplicito di ℤ, Wallis aveva un’idea assai personale del valore dei numeri negativi che non considerava minori di 0, ma maggiori dell’infinito. Tale artefatto è oggi molto diffuso fin dalla scuola elementare.